Математика

Тематичні  плани з математики 10-А клас (рівень стандарту);

Розв"язування логарифмічних рівнянь (конспект уроку)

Перпендикуляр і похила (презентація)

Перерізи многогранників. Метод слідів (конспект уроку); презентація

Функція (конспект уроку)

Теорема про три перпендикуляри (презентація)

Пройти он-лайн тестування з математики 9 клас  розпочати

Квадратні рівняння

Геометричний зміст

Графіком квадратичної функції є парабола. Розв'язками (коренями) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола, яка описується квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має дійсних корнів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (вершині параболи), рівняння має один дійсний корінь (також кажуть, що рівняння має два співпадаючих кореня). Якщо парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, рівняння має два дійсних кореня.

Якщо коефіцієнт а додатній, вітки параболи направлені вгору, якщо від'ємний — вітки параболи направлені вниз. Якщо коефіцієнт b додатній, то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо від'ємний — в правій півплощині.

Вивід формули для розв'язання квадратного рівняння

Формулу для розв'язання квадратного рівняння можна отримати так

      ax² + bx + c = 0
      ax² + bx = -c

Помножимо рівняння на 4a

      4a²x² + 4abx = -4ac
      4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²
      (2ax + b)² = b² -4ac
      2ax + b = ±√b² -4ac

Пошук коренів квадратного рівняння

Квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати від 0 до 2 дійсних коренів в залежності від значення дискримінанту D = b² − 4ac:

• коли D > 0 корнів два, і вони розраховуються за формулою

  x1,2 =  -b ± √D 2a

• коли D = 0 корінь один (два рівних або співпадаючих кореня), кратності 2:

  x =  -b 2a

• коли D < 0 дійсних коренів немає. Існують два комплексних кореня, що розраховуються за формулою

  x1,2 =  -b ± i√-D 2a